Question

4．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值為$\frac{3}{2}$，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據分式的意義將分式進行化簡，結合斜率的意義，得到$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2•$\frac{y+1}{x+1}$，
若z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
即1+2•$\frac{y+1}{x+1}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
由1+2•$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{3}{2}$，得$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，
作出不等式組對應的平面區域，即$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是區域內的點P（x，y）到定點D（-1，-1）的斜率的最小值是$\frac{1}{4}$，
由圖象知BD的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=a}\\{y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3a}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即B（3a，0），
則$\frac{0+1}{3a+1}$=$\frac{1}{4}$，即3a+1=4，則3a=3，
則a=1，
故選：A．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，結合分式的性質以及直線斜率的定義，利用數形結合是解決本題的關鍵．