Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f(1)=

1

4

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，則f（2012）=（　　）

• A．

  1

  4

• B．-

  1

  4

• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：由于題目問的是f（2012），項(xiàng)數(shù)較大，故馬上判斷函數(shù)勢必是周期函數(shù)，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．

解答：解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

1

2

法一：∵f（1）=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

取x=2，y=1得f（3）=-

1

2

取x=2，y=2得f（4）=-

1

4

取x=3，y=2得f（5）=-

7

16

取x=3，y=3得f（6）=

1

2

猜想得周期為6
∴f（2012）=f（2）=-

1

4

法二：取x=1，y=0得f（0）=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯(lián)立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=6，
故f（2012）=f（2）=-

1

4

故選B

點(diǎn)評：準(zhǔn)確找出周期是此類問題（項(xiàng)數(shù)很大）的關(guān)鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時根據(jù)自己熟悉的方法得出即可．