Question

()（本小題滿分13分）

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點，過點的直線與橢圓在第一象限相切于點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求直線的方程以及點的坐標；

（Ⅲ）是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）切點坐標為（Ⅲ）存在直線滿足條件，其方程為．

解析:

（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意得

解得，，故橢圓的方程為． ……………………4分

（Ⅱ）因為過點的直線與橢圓在第一象限相切，所以的斜率存在，故可設直線的方程為．

由得．   ①

因為直線與橢圓相切，所以.

整理，得.

解得．

所以直線方程為．

將代入①式，可以解得點橫坐標為1，故切點坐標為．……9分

（Ⅲ）若存在直線滿足條件，設直線的方程為，代入橢圓的方程得．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以．

所以．

又，，

因為，即，

所以．

即 ，

所以，解得．

因為為不同的兩點，所以.

于是存在直線滿足條件，其方程為．      …………………………13分