Question

已知函數f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）當a=

1

2

時，判斷證明f（x）的單調性并求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

2

時，可求得f（x），在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據增減函數的定義可判斷單調性，進而可求得函數的最小值；
（2）在區間[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等價于x²+x+a＞0，令g（x）=x²+x+a，根據單調性可求得g（x）的最小值，則最小值大于0；

解答：解：（1）當a=

1

2

時，f（x）=x+

1

2x

+2，
在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

2x1

+2）-（x2+

1

2x2

+2）=（x₁-x₂）(1-

1

2x1x2

)
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

2x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f（x）的最小值為f（1）=

7

2

；
（2）在區間[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等價于x²+x+a＞0，
而g（x）=x²+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

在[1，+∞）上遞增，
∴當x=1時，g（x）_min=2+a，當且僅當2+a＞0時，恒有f（x）＞1，即實數a的取值范圍為a＞-2．

點評：本題考查函數的單調性及其應用，考查恒成立問題，考查轉化思想，解決（2）問的關鍵是對不等式化簡后轉化為函數的最值解決．