Question

（2013•青浦區一模）已知a²sinθ+acosθ-1=0與b²sinθ+bcosθ-1=0（a≠b）．直線MN過點M（a，a²）與點N（b，b²），則坐標原點到直線MN的距離是

1

．

Answer 1

分析：由已知等式得到a+b，ab，由兩點式寫出直線MN的方程，化為一般式，利用兩點間的距離公式寫出原點到MN的距離，代入求得的a+b和ab，進行三角函數的化簡與求值，即可得到原問題的解．

解答：解：由

a2sinθ+acosθ-1=0 b2sinθ+bcosθ-1=0

，得

a+b=-cotθ ab=- 1 sinθ

．
過M（a，a²）與N（b，b²）的直線方程為

y-b2

a2-b2

=

x-b

a-b

，
整理得（a+b）x-y-ab=0．
所以坐標原點到直線MN的距離d=

|ab|

(a+b)2+1

=

| 1 sinθ |

(-cot)2+1

=

| 1 sinθ |

1 sin2θ

=

| 1 sinθ |

| 1 sinθ |

=1．
故答案為1．

點評：該題考查了點到直線的距離公式，訓練了三角函數的化簡與求值，是基礎的運算題．