Question

已知等比數列{a_n}的公比為q，前n項和S_n＞0（n=1，2，3，…），則q的取值范圍是

q＞-1且q≠0

．

Answer 1

分析：首先判斷出首項a₁＞0，分q是否為1，寫出Sn的表達式，再用驗證的方法考察S_n＞0時q的取值范圍．

解答：解：當n=1時，a₁=S₁＞0，首項必為正數．
（1）當q=1時，Sn=na₁＞0，
（2）當q≠1時，Sn=a₁•

1-qn

1-q

①若q＞1，則1-q＜0，1-qⁿ＜0，S_n＞0成立．
②若0＜q＜1，則1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
③若-1＜q＜0，則 1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
④若q≤-1，則當n為偶數時，1-qⁿ≤0，S_n＞0不成立．
綜上所述，q的取值范圍是q＞-1且q≠0，
故答案為：q＞-1且q≠0

點評：本題考查等比數列的前n項和公式，分式不等式的解法．需具有良好的分類討論的意識和能力．