Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  3

  3

  )
• B．(0，

  2

  2

  )
• C．(0，

  5

  5

  )
• D．(0，

  6

  6

  )

Answer 1

分析：根據(jù)定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數(shù)f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據(jù)函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解；

解答：解：因為 f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
令g（x）=log_a（|x|+1），

如圖要求g（2）＞f（2），可得
就必須有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴可得log_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

又a＞0，
∴0＜a＜

3

3

，
故選A；

點評：此題主要考查函數(shù)周期性及其應用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，這也是高考常考的熱點問題，此題是一道中檔題；