Question

（2006•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0），
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax我們易求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求出a值后，
結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到y(tǒng)=f′（x）的值域；
（2）由已知中函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax我們易求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式（含參數(shù)a），分a≥1，0＜a＜1兩種情況進(jìn)行分類討論，
即可得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

ex

ex+1

-a．
∵函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)．
∴f′（-x）=-f′（x），即

e-x

e-x+1

-a=-

ex

ex+1

+a
解得a=

1

2

．
故f′(x)=

ex

ex+1

-

1

2

=

1

2

-

1

ex+1

，
（2）由（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a=1-

1

ex+1

-a．
①當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＜0恒成立，
∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，
即ex＞-1+

1

1-a

，解得x＞ln

a

1-a

，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，綜上可知，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在(ln

a

1-a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
在(-∞，ln

a

1-a

)內(nèi)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，求出參數(shù)a的值，（2）的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論．