Question

某校為解決教師后顧之憂，擬在一塊長AM=30米，寬AN=20米的矩形地塊AMPN上施工，規劃建設占地如右圖中矩形ABCD的教師公寓，要求頂點C在地塊的對角線MN上，B，D分別在邊AM，AN上，假設AB長度為x米
（Ⅰ）要使矩形教師公寓ABCD的面積不小于144平方米，AB的長度應在什么范圍？
（Ⅱ）長度AB和寬度AD分別為多少米時矩形教師公寓ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？

Answer 1

分析：（1）首先利用三角形的相似性，求得邊AD與邊AB的長度關系，建立三角形面積函數模型，再由s≥144，得出邊AB的長度范圍；（2）由二次函數求最值求得．

解答：解：（1）依題意設AD=t則

20-t

20

=

x

30

，
∴t=20-

2

3

x所以s=（20-

2

3

x）x，
又∵s≥144，
∴x²-30x+216≤0，解得12≤x≤18，
要使教師公寓ABCD的面積不小于144平方米，
即12≤x≤18，即AB的長度應在[12，18]內（6分）

（Ⅱ）s=（20-

2

3

x）x=-

2

3

(x-15)2 +150．
答：AB=15米，AD=10米時，教師公寓ABCD的面積最大，最大值是150平方米（12分）

點評：本題主要考查建立函數模型和解模的問題．