Question

已知直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點，且點M（1，t），（t＞0）在該橢圓上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線l：x-2y+m=0與該橢圓相交于不同兩點A，B，證明：直線MA，MB的傾斜角互補．

Answer 1

解：（1）由題意得，，解得a=2，b=．
∴要求的橢圓方程為．
（2）∵點M（1，t），（t＞0）在該橢圓上，∴，解得t=，∴M．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又直線l經過A、B，
則k_MA==，k_MB==．
聯立，消去y化為4x²+2mx+m²-12=0，
由于直線l與橢圓相較于A、B兩點，∴△=4m²-16（m²-12）＞0，化為m²＜16，解得-4＜m＜4．
由根與系數的關系可得：，．
∴k_MA+k_MB=
===0．
∴k_MA+k_MB=0號，
故直線MA、MB的傾斜角互補．
分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）直線MA，MB的傾斜角互補?k_MA+k_MB=0，將直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系即可證明．
點評：熟練掌握橢圓的定義及把問題轉化為直線與橢圓的相交問題的根與系數的關系是解題的關鍵．