Question

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（I）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（II）求證：AO⊥平面BCD；
（III）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O，M為AB的中點，根據三角形中位線定理，可得OM∥AD，結合線面平行的判定定理，可得OM∥平面ACD；
（II）解△AOC，可得AO⊥CO，由正方形的性質可得AO⊥BD，根據線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到
二面角A-BC-D的余弦值．
解答：解：（I）證明：∵在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，
∴O為BD的中點，
又M為AB的中點，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
證明：（II）在△AOC中，∵AC=1，，
∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．
則，
是平面BCD的一個法向量．
，，
設平面ABC的法向量，
則，．
即，
所以y=-x，且z=x，令x=1，則y=-1，z=1，
解得．

從而，
二面角A-BC-D的余弦值為．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得OM∥AD，（2）的關鍵是證得AO⊥CO，AO⊥BD，（3）的關鍵是分別求出平面ABC和平面BCD的法向量．