Question

點P是橢圓

x2

4

+y2=1上一點，且在第一象限內移動；O為原點，A（2，0），B（0，1），則四邊形OAPB的面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用三角函數來解答這道題，橢圓方程

x2

4

+y2=1上 里面的自變量x，y可以表示為 x=2cosa y=sina 本題中要求第一象限，這樣就應該有0＜a＜π，
設P為（2cosa，sina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa 這樣四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa也就相當于求解sina+cosa的最大值，
0＜a＜π，sina+cosa=

2

sin（a+

π

4

）這樣其最大值就應該為

2

，并且當且僅當a=

π

4

時成立．

解答： 解：由于點P是橢圓程

x2

4

+y2=1上上的在第一象限內的點，
設P為（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa
∴四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa
=

2

sin（a+

π

4

）
其最大值就應該為

2

，
并且當且僅當a=

π

4

時成立．所以，面積最大值

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解答的關鍵在于利用橢圓的參數方程設出橢圓上一點的坐標，利用三角函數的有界性求最值．