Question

定義：在直角坐標系中，若不在一直線上的三點A、B、C的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），則三角形ABC的面積可以表示為S_△ABC=|

1

2

.

x1  y1  1 x2 y2     1 x3 y3    1

.

|．已知拋物線y²=4x，過拋物線焦點F斜率為

4

3

的直線l與拋物線交于A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若P（3，0），試用行列式計算三角形面積的方法求四邊形APBO的面積S．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線的焦點的坐標，用點斜式求得直線AB的方程，代入拋物線y²=4x的方程化簡，
利用一元二次方程根與系數的關系，求出 x₁，x₂，y₁，y₂的值，即可求得A、B兩點的坐標；
（2）由題意知，A（4，4），B(

1

4

，-1)，P（3，0），O（0，0）
則四邊形APBO的面積S=|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 0   0    1

.

|+|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 3   0    1

.

|=

15

2

．

解答：解：（1）拋物線y²=4x中，p=2，

p

2

=1，故拋物線的焦點的坐標為（1，0），
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
由題意有可得 直線AB的方程為  y-0=

4

3

（x-1），即 y=

4

3

（x-1），
代入拋物線y²=4x的方程化簡可得  y²-3x-4=0，
∴y₁=-1，y₂=4，則x₁=

1

4

，x₂=4
故A（4，4）、B(

1

4

，-1)；
（2）由于不在一直線上的三點A、B、C的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），
則三角形ABC的面積可以表示為S_△ABC=|

1

2

.

x1  y1  1 x2 y2     1 x3 y3    1

.

|
又由A（4，4）、B(

1

4

，-1)，
則四邊形APBO的面積S=S_△AOB+S_△APB
=|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 0   0    1

.

|+|

1

2

.

4 4     1 1 4 -1    1 3   0    1

.

|=

15

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，一元二次方程根與系數的關系，求出x₁，x₂，y₁，y₂的值，是解題的關鍵．