Question

已知函數f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數．
（1）求函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程；
（2）證明函數y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方；
（3）若函數y=f（x）有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知f（x）=lnx-ax+1，對你進行求導，根據導數和斜率的關系，求出切線的方程；
（2）作F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，利用導數證得任意x＞0且x≠1，F（x）＜0，從而有f（x）＜（1-a）x，即函數y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．
（3）令y=0，進行變形lnx=ax-1，即a=

lnx+1

x

，令 g(x)=

lnx+1

x

，利用導數的方法，研究其單調性及最大值，從而求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a…（2分）f（1）=-a+1，k_l=f'（1）=1-a，
所以切線l的方程為y-f（1）=k_l（x-1），即y=（1-a）x．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
則F′(x)=

1

x

-1 =

1

x

(1-x) ，解F′(x)=0得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函數y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．      …（9分）
（3）y=f（x）有零點，即f（x）=lnx-ax+1=0有解，a=

lnx+1

x

．
令 g(x)=

lnx+1

x

，g′(x)=(

lnx+1

x

)′=

1-(lnx+1)

x2

=-

lnx

x2

，
解g'（x）=0得x=1．…（11分）
則g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
當x=1時，g（x）的最大值為g（1）=1，
所以a≤1．…（13分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，還考查了數形結合的思想，是一道中檔題．