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精英家教網已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0),離心率e=
5
2
,頂點到漸近線的距離為
2
5
5

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)如圖,P是雙曲線C上一點,A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若
AP
PB
,λ∈[
1
3
,2]
,求△AOB面積的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先由雙曲線標準方程求得頂點坐標和漸近線方程,進而根據頂點到漸近線的距離求得a,b和c的關系,進而根據離心率求得a和c的關系,最后根據c=
a2+b2
綜合得方程組求得a,b和c,則雙曲線方程可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得漸近線方程,設A(m,2m),B(-n,2n),根據
AP
PB
得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m,n與λ的關系式,設∠AOB=2θ,進而根據直線的斜率求得tanθ,進而求得sin2θ,進而表示出|OA|,得到△AOB的面積的表達式,根據λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值,△AOB面積的取值范圍可得.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,雙曲線C的頂點(O,a)到漸近線ax-by=0的距離為
2
5
5

ab
a2+b2
=
2
5
5
,即
ab
c
=
2
5
5

ab
c
=
2
5
5
c
a
=
5
2
c2=a2+b2
,得
a=2
b=1
c=
5

∴雙曲線C的方程為
y2
4
-x2=1


(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x.
設A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
AP
PB
得P點的坐標為(
m-λn
1+λ
2(m+λn)
1+λ
)

將P點坐標代入
y2
4
-x2=1
,化簡得mn=
(1+λ)2

設∠AOB=2θ,∵tan(
π
2
-θ)=2
,∴tanθ=
1
2
,sinθ=
5
5
,sin2θ=
4
5

|OA|=
5
m
 
 
,|OB|=
5
n+

S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|•sin2θ=2mn=
1
2
(λ+
1
λ
)+1

S(λ)=
1
2
(λ+
1
λ
)+1,λ∈[
1
3
,2]

由S'(λ)=0得λ=1,又S(1)=2,S(
1
3
)=
8
3
,S(2)=
9
4

當λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當λ=
1
3
時,
△AOB的面積取得最大值
8
3.

∴△AOB面積的取值范圍是[2,
8
3
]
點評:本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生綜合分析問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為:
x2
9
-
y2
16
=1
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)求與雙曲線C有公共的漸近線,且經過點A(-3,2
3
)的雙曲線的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1
(a>0,b>0),離心率e=
5
2
,頂點到漸近線的距離為
2
5
5
.求雙曲線C的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•嘉定區一模)已知雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1,點A(m,2m)和點B(n,-2n)(其中m和n均為正數)是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個動點,雙曲線C上的點P滿足
AP
=λ•
PB
(其中λ∈[
1
2
,3]).
(1)用λ的解析式表示mn;
(2)求△AOB(O為坐標原點)面積的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),過右焦點F作雙曲線在一,三象限的漸近線的垂線l,垂足為P,l與雙曲線C的左右的交點分別為A,B
(1)求證:點P在直線x=
a2
c
上(C為半焦距).
(2)求雙曲線C的離心率e的取值范圍.
(3)若|AP|=3|PB|,求離心率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,它的左、右焦點分別F1,F2,左右頂點為A1,A2,過焦點F2先做其漸近線的垂線,垂足為p,再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點Q,R,若PF2,A1A2,QF1依次成等差數列,則離心率e=(  )

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