Question

已知數列{x_n}是公差不為0的等差數列，{y_n}是等比數列，其中x₁=1，且x₁=y₁，x₂=y₂，x₆=y₃，是否存在常實數a和b，使得對于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b？若存在，求出a和b的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：利用條件求出等差數列的公差和等比數列的公比，然后由x_n=log_ay_n+b，能否求出a，b的值．

解答：解：設公差為d，公比為q．
則由題意得

1+d=q 1+5d=q2

，即d²=3d，因為差不為0，所以d=3，q=4．
所以x_n=1+3（n-1）=3n-2，yn=4n-1，
假設存在常實數a和b，使得對于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b，
則3n-2=loga4n-1+b=(n-1)loga4+b=nlog_a4+b-log_a4，
所以必有

loga4=3 -2=b-loga4

，解得b=1，a=

3	4

，
所以存在實數a和b，使得對于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的基本運算和性質，要求熟練掌握