Question

已知函數.

（Ⅰ）若，求函數的極值，并指出是極大值還是極小值；

（Ⅱ）若，求證：在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極小值；（Ⅱ）參考解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先考慮定義域.再把代入求導.令導函數可求得極值點.再通過函數的單調性即可知道函數的極值.

（Ⅱ）由.在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方，可轉化為在區間上恒成立的問題.從而令函數F(x)= .通過求導即可求得F(x)函數的最大值.從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）解由于函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，       1分

當a＝－1時，f′(x)＝x－         2分

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，      3分

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，  因此函數f(x)在(0,1)上是單調遞減的，      4分

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此函數f(x)在(1，＋∞)上是單調遞增的，   5分

則x＝1是f(x)極小值點，

所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=             6分

（Ⅱ）證明      設F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－x³，

則F′(x)＝x＋－2x²＝，      9分

當x>1時，F′(x)<0，                          10分

故f(x)在區間[1，＋∞)上是單調遞減的，            11分

又F(1)＝－<0，         12分

∴在區間[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立

即f(x)<g(x)恒成立.

因此，

當a＝1時，在區間[1，＋∞)上，函數f(x)的圖像在函數g(x)圖像的下方． 13分

考點：1.函數的極值.2.對數函數的定義域.3.函數的恒成立問題.