Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

，
（1）若a=0時，直線y=x+b為函數y=f（x）的一條切線，求實數b的值；
（2）是否存在實數a，使f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函數解析式，求導后令導函數的值等于1得到直線y=x+b與函數y=f（x）的切點，把切點代入直線方程即可得到b的值；
（2）求出原函數的導函數，由導函數大于0解出x的范圍，然后分a大于0和小于0討論，當a＜0時具體分三種情況討論，利用f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

求a的值．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-

a

x

（x＞0），
當a=0時，f（x）=lnx，
f′(x)=

1

x

，由

1

x

=1，得x=1，代入y=lnx，得y=0．
把（1，0）代入y=x+b，得b=-1；
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
令f'（x）≥0
∴x+a≥0，∴x≥-a．
若a＞0，則f'（x）＞0，函數在x＞0單調增．
若a＜0，則有極小值點x=-a，函數在x＞-a單調增．
當-1≤a＜0時，在[1，e]上f'（x）≥0，∴f（x）_min=f（1）=-a≤1，不合題意．
當-e＜a＜-1時，f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

．
當a≤-e時，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

＞2不合題意．
綜上得：a=-

e

．

點評：本題考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是對a的范圍正確分段，此題是有一定難度題目．