Question

【題目】（本題滿分14分）如圖，我市有一個健身公園，由一個直徑為2km的半圓和一個以為斜邊的等腰直角三角形構成，其中為的中點．現準備在公園里建設一條四邊形健康跑道，按實際需要，四邊形的兩個頂點分別在線段上，另外兩個頂點在半圓上， ，且間的距離為1km．設四邊形的周長為km．

（1）若分別為的中點，求長；

（2）求周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求長，就是求圓中弦長，關鍵求出圓心到弦所在直線距離：因為分別為的中點，所以圓心到直線CD距離為半徑的一半，即，又間的距離為1km，所以圓心到弦所在直線距離為，因此

（2）求四邊形的周長，就是要表示出四邊長度，如何取自變量是解決問題的關鍵，設角是一個較好的方法，如設，其中M為AB中點，則，，，再根據基本不等式其周長最值

試題解析：（1）解：連結并延長分別交于，連結，

∵分別為的中點，，∴，

為等腰直角三角形，為斜邊，，

．∵，∴． 3分

在中，，∴，

∴． 6分

（2）解法１ 設，．

在中，，∴，．

∵，∴，

∴， 8分

∴ 10分

，（當或時取等號）

∴當或時，周長的最大值為． 14分

解法２ 以為原點，為軸建立平面直角坐標系．

設，，，，

∴，，． 8分

∴ 10分

，

（當，或，時取等號）

∴當，或，時，周長的最大值為． １４分