Question

甲，乙兩人進行射擊比賽，每人射擊6次，他們命中的環數如下表：

甲	5	8	7	9	10	6
乙	6	7	4	10	9	9

（Ⅰ）根據上表中的數據，判斷甲，乙兩人誰發揮較穩定；
（Ⅱ）把甲6次射擊命中的環數看成一個總體，用簡單隨機抽樣方法從中抽取兩次命中的環數組成一個樣本，求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．

Answer 1

分析：（1）利用公式求出兩個樣本的平均數和方差，分析兩個人的成績，作出評價，方差較小的，發揮較穩定．
（2）利用列舉法寫出從總體中抽取兩個個體的全部可能的結果，結合題意，求出m、n，代入古典概型的概率公式，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）甲射擊命中的環數的平均數為

.

x1

=

1

6

×( 5+8+7+9+10+6 )=7.5，
其方差為

s

2 1

=

1

6

×( 2.52+0.52+0.52+1.52+2.52+1.52 )=

1

6

×17.5．（2分）
乙射擊命中的環數的平均數為

.

x2

=

1

6

×( 6+7+4+10+9+9 )=7.5，
其方差為

s

2 2

=

1

6

×( 1.52+0.52+3.52+2.52+1.52+1.52 )=

1

6

×25.5．（4分）
因此

.

x1

=

.

x2

，s₁²＜s₂²，故甲，乙兩人射擊命中的環數的平均數相同，但甲比乙發揮較穩定．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

.

x1

=7.5．
設A表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5”．
從總體中抽取兩個個體的全部可能的結果（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15個結果．
其中事件A包含的結果有（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7個結果．（10分）
故所求的概率為P ( A )=

7

15

．（12分）

點評：本題主要考查平均數、方差、抽樣、概率等基礎知識以及分析問題和解決問題的能力．