Question

8．已知（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²…+a_n（x-1）ⁿ（n∈N*）．
（1）求a₀及S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i；
（2）試比較S_n與（n-2）3ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=1，則${a_0}={3^n}$，再令x=2，則$\sum_{i=0}^n{a_i}={4^n}$，可得S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i 的值．
（2）要比較S_n與（n-2）3ⁿ+2n²的大小，只要比較4ⁿ與（n-1）3ⁿ+2n²的大小．檢驗可得當n=1或4或5時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，當n=2或3或4時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．猜測當n≥5時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，再用數學歸納法、放縮法證明結論．

解答 解：（1）令x=1，則${a_0}={3^n}$，令x=2，則$\sum_{i=0}^n{a_i}={4^n}$，所以S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i =4ⁿ-3ⁿ．
（2）要比較S_n與（n-2）3ⁿ+2n²的大小，只要比較4ⁿ與（n-1）3ⁿ+2n²的大小．
當n=1時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，當n=2或3時，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n²，
當n=4時，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n² ，
當n=5時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．
猜想：當n≥5時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．下面用數學歸納法證明：
①由上述過程可知，當n=5時，結論成立．
②假設當n=k（k≥4，k∈N^*）時結論成立，即4^k＞（k-1）3^k+2k²，
兩邊同乘以4，得4^k+1＞4[（k-1）3^k+2k²]=k3^k+1+2（k+1）²+[（k-4）3^k+6k²-4k-2]，
而（k-4）3^k+6k²-4k-2=（k-4）3^k+6（k²-k-2）+2k+10=（k-4）3^k+6（k-2）（k+1）+2k+10＞0，
所以4^k+1＞[（k+1）-1]3^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1時結論也成立．
由①②可知，當n≥4時，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²成立．
綜上所述，當n=1時，${S_n}＞（n-2）{3^n}+2{n^2}$；當n=2或3時，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n²，S_n＜（n-2）3ⁿ+2n²；
當n≥5時，${S_n}＞（n-2）{3^n}+2{n^2}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，用數學歸納法、放縮法證明不等式，屬于中檔題．