Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2,離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點且不過點的直線與橢圓交于,兩點,直線與直線交于點.

（i）若軸,求直線的斜率；

（ii）判斷直線與直線的位置關系,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）,（ii）,理由見解析

【解析】

(1)根據基本量的關系列式求解即可.

(2) （i）當軸時,可求得的坐標,進而求得直線的方程與的坐標,進而求得直線的斜率.

（ii）聯立直線與橢圓的方程, 設,,根據題意求出直線的方程與的坐標,進而得出直線的斜率表達式,代入韋達定理的關系化簡即可.

（1）由,,故,得,,

∴橢圓方程為：；

（2）可設：,

①軸,則：,當在軸上方時有,,

∴的方程為：,∴,

∴.

當在軸下方時有,,

∴的方程為：,∴,

∴.

綜上有.

②,證明如下：

把代入得,

設,,則,,

∴：,∴,

∴,

由,∴,

∴.