Question

設各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．設b_n=log₂a_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；     
（2）若c₁=1，cn+1=cn+

bn

an

，求證：c_n＜3．

Answer 1

分析：（1）設出等比數列的公比，由已知條件列方程組求出等比數列的首項和公比，則等比數列{a_n}的通項公式可求，代入b_n=log₂a_n可求數列{b_n}的通項公式；
（2）把求出的a_n和b_n代入cn+1=cn+

bn

an

，把c_n寫成c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁，各項代入后利用錯位相減法求c_n，c_n求出后即可得到結論．

解答：（1）解：設數列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，則

a1+a1q2=10    ① a1q2+a1q4=40②

，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a1qn-1=2×2n-1=2ⁿ，則b_n=log2an=log22n=n；
（2）證明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n=

bn

an

=

n

2n

，
當n≥2時，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

③，
∴

1

2

c_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

④，
③-④得：

1

2

cn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

-

n-1

2n

=1+

1

2

-

1

2n-1

-

n-1

2n

．
∴cn=3-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了數列的遞推式，訓練了利用錯位相減法求數列的前n項和，屬中檔題．