Question

如圖，沿河邊AB建一水站P供甲、乙兩個學校共同使用，已知學校甲離河邊1千米，學校乙離河邊2千米，而甲、乙兩校相距

10

千米，如果兩校決定用同一種造價的水管送水．
（1）設PA=x（x＞0），試將x表示成送水需要的水管總長y的函數；
（2）問水站P建在什么位置，購買水管的費用最低？

Answer 1

分析：（1）先分別求出AB、CP、DP的長，然后根據送水需要的水管總長等于AB+CP+DP建立關系式，注意定義域；
（2）求出函數的導函數，然后令導數等于0，求出極值點，從而求出水站P建在什么位置，購買水管的費用最低．

解答：解：（1）由題意：AB=3，CP=

x2+1

，DP=

(3-x)2+4

故：y=

x2+1

+

(3-x)2+4

(0＜x＜3)
（2）y′=

x

x2+1

+

x-3

x2-6x+13

=0
即：

x

x2+1

=-

x-3

x2-6x+13

兩邊平方：
化簡：x²+2x-3=0所以x=1，（x=-3舍去）
答：x=1時，也就是水站建在離A點1千米處購買水管的費用最低．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用導數求閉區間上函數的最值，屬于中檔題．