Question

選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b²+

1

9

c²+m-1=0
（I）求證：a²+

1

4

b²+

1

9

c²≥

(a+b+c)2

14

（II）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據柯西不等式直接證明即可；
（II）將（i）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0代入，消去a、b、c得到關于m的不等關系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（I）根據柯西不等式可得（a²+

b 2

4

+

c 2

9

）（1+2²+3²）≥(a×1+

b

2

×2+

c

3

×3) 2=（a+b+c）²
∴a²+

b 2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c) 2

14

（II）∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

點評：本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．