Question

在某次數學競賽中共有甲、乙、丙三題，共25人參加競賽，每個同學至少選作一題．在所有沒解出甲題的同學中，解出乙題的人數是解出丙題的人數的2倍；解出甲題的人數比余下的人數多1人；只解出一題的同學中，有一半沒解出甲題，問共有多少同學解出乙題？

Answer 1

分析：設解出甲、乙、丙三題的學生的集合分別為A、B、C，并用三個圓表示之，則重疊部分表示同時解出兩題或三題的學生的集合，其人數分別以a，b，c，d，e，f，g表示，再根據原題中的條件列出方程，化簡方程，確定所求解的未知數的范圍，再結合元素的個數為正整數這一特點，即可求解．

解答：解：設解出甲、乙、丙三題的學生的集合分別為A、B、C，并用三個圓表示之，則重疊部分表示同時解出兩題或三題的學生的集合，其人數分別以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每個學生至少解出一題，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于沒有解出甲題的學生中，解出乙題的人數是解出丙題的人數的2倍，故b+f=2（c+f）②
由于只解出甲題的學生比余下的學生中解出甲題的學生的人數多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一題的學生中，有一半沒有解出甲題，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分別代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤6.5．
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52．
∵b∈Z，
∴b=6．可以解出a=8，b=6，c=2，f=2，可以知道共有15位同學解出甲題，
但只解出乙題的學生有6人．

點評：本題考查集合的表示方法：Venn圖，以及集合運算和集合元素個數的關系和確定方法，要注意方程的變形和未知數范圍的確定，是一道基礎題．