Question

已知圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，母線長為l，試證明：
①圓臺的側面積公式為：S_{圓臺側面積}=π（r+R）l；
②表面積公式為：S=π（R²+r²+Rl+rl）．

Answer 1

【答案】分析：把圓臺還原成圓錐，并作出軸截面，設AB=x，BC=l，利用三角形相似可用R，r，l表示出x，根據S_圓臺側=S_扇形ACD-S_扇形ABE可證明出圓臺的側面積公式，加上兩個底面面積后，可證得圓臺的表面積公式．
解答：證明：把圓臺還原成圓錐，并作出軸截面，如下圖：
設AB=x，BC=l，
∵△ABF∽△ACG．
∴=，∴x=．
∴S_圓臺側=S_扇形ACD-S_扇形ABE
=•2πR（x+l）-•2πr•x
=πRl+π（R-r）•
=π（R+r）l
∴S_{圓臺表面積}=π（R+r）l+πR²+πr²
=π（Rl+rl+R²+r²）．
點評：本題考查的知識點是圓錐的側面積和圓臺的側面積，熟練掌握扇形面積公式是解答本題的關鍵．