Question

（2012•河南模擬）設函數f（x）=|x-2|+x．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，求g（x）＜f（x）成立時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，我們可將設函數f（x）=|x-2|+x的解析式化為分段函數的形式，進而分別確定各段上函數的值域，綜合后可得函數f（x）的值域；
（2）利用零點分段法，分別討論當x≤-1時，當-1＜x＜2時和當x≥2時，不等式g（x）＜f（x）的解集，最后綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

2x-2，x≥2 2，x＜2

，
故f（x）的值域為[2，+∞）．…（2分）
（2）∵g（x）＜f（x），∴|x+1|＜|x-2|+x，∴|x-2|-|x+1|+x＞0，…（4分）
①當x≤-1時，-（x-2）+（x+1）+x＞0，∴x＞-3，∴-3＜x≤-1．…（6分）
②當-1＜x＜2時，-（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＜1，∴-1＜x＜1．…（8分）
③當x≥2時，（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＞3，∴x＞3．
綜上，x∈（-3，1）∪（3，+∞）．…（10分）

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數，其中利用零點分段法，將絕對值函數轉化為分段函數的形式，是解答本題的關鍵．