Question

如圖所示，在平行四邊形中，

AB

•

BD

=0，且2

AB

2+

BD

2=1，沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球表面積為

π

．

Answer 1

分析：根據數量積為零，得∠ABD=∠CBD=90°，故AC的中點O為外接球的球心，AC就是所求外接球的直徑，由面面垂直的性質和勾股定理，算出AC²的值并結合球的表面積公式，可得該外接球的表面積．

解答：解：∵

AB

•

BD

=0，∴∠ABD=∠CBD=90°，
∵二面角A-BD-C是直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD，可得AB⊥BC，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形
同理可得，△ACD是以AC為斜邊的直角三角形
由此可得：AC的中點O即為外接球的球心
∵Rt△ABC中，|

AC

|²=|

AB

|²+|

BC

|²=2

AB

2+

BD

2=1
∴外接球的半徑R=

1

2

|

AC

|=

1

2

因此，三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4π•R²=4π×

1

4

=π
故答案為：π

點評：本題考查圖形的翻折，考查了面面垂直的性質、球表面積公式和球內接多面體的性質等知識，屬于中檔題．