Question

定義一組函數f_n(x)＝(1＋x)ⁿ－1(x＞－2)，n∈N，且n≥2，其導函數記為

(1)求證：f_n(x)≥nx

(2)設，求證：0＜x₀＜1

(3)設函數g(x)＝f₃(x)－f₂(x)，[a，b]，g(x)在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]，求出k的最小值及相應的區間[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明， 　　令，則 　　當時，；當時， 　　故在上遞減，在(0，)上遞增，在處取得最小值 　　所以，即(4分) 　　(2)由，得， 　　所以，，易知(6分) 　　而， 　　由(1)知時，，故 　　所以，，因此(9分) 　　(3)， 　　 　　令，得，， 　　當時，；當時，； 　　當時，， 　　所以當時，為增函數；當時，為減函數； 　　當時，為增函數(11分) 　　下面求出k的最小值及相應的區間 　　(法一)：求直線與曲線在上的交點， 　　解方程組 　　得兩交點坐標分別是(0，0)，(，)， 　　當，即時，存在滿足條件的區間， 　　因此的最小值為，此時(14分) 　　(法二)：因為在上是增函數，所以必有，即① 　　，即② 　　因為，，所以，若，則，，矛盾 　　所以，，由，知道當時k有最小值為，此時．(14分)