Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值；
（3）線段BD上是否存在點M，使得AM∥平面BEF？若存在，試確定點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．…2分
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D
從而AC⊥平面BDE．…4分
（2）∵DA，DC，DE兩兩垂直，
∴以D為坐標原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示．
∵DE=3，由AF∥DE，DE=3AF=3
得AF=1．…6分
則A（2，0，0），F（2，0，1），E（0，0，3），B（2，2，0），∴

BF

=(0，-2，1)，

EF

=(2，0，-2)…7分
設平面BEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BF =0 n • EF =0

，
∴

-2y+z=0 2x-2z=0

，令z=2，則

n

=(2，1，2)．…8分
∵

AB

=(0，2，0)
∴直線AB與平面BEF所成的角θ滿足sinθ=|cos＜

n

，

AB

＞|=

| n • AB |

| n || AB |

=

2

2×3

=

1

3

…10分
（3）點M是線段BD上一個點，設M（t，t，0），
則

AM

=(t-2，t，0)，
∵AM∥平面BEF，
∴

AM

•

n

=0，…11分
即2（t-2）+t=0，解得t=

4

3

．…12分
此時，點M坐標為(

4

3

，

4

3

，0)．…13分．