Question

（2012•綿陽三模）已知函數f（x）=

a

x

+blnx+c（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-2=0．
（I）用a表示b，c；
（II）若函數g（x）=x-f（x）在x∈（0，1]上的最大值為2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-2=0，切點（1，a+c）在直線x-y-2=0上，即可用a表示b，c；
（II）求g（x）的導函數，令g′（x）=0，得x=1，或x=a，分類討論：i）當a≥1時，g（x）在（0，1]上遞增，g（x）_max=g（1）=2，符合條件；ii）當0＜a＜1時，g（x）在（0，a）上遞增，g（x）在（a，1）上遞減，g（x）_max=g（a）＞g（1）=2，與題意矛盾，由此可得實數a的取值范圍．

解答：解：（I）求導函數可得f′（x）=-

a

x2

+

b

x

（a＞0），
∵函數在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-2=0，
∴f′（1）=1，∴-a+b=1．
∴b=a+1．
又切點（1，a+c）在直線x-y-2=0上，得1-（a+c）-2=0，解得c=-a-1．   …（4分）
（II）g（x）=x-

a

x

-blnx-c=x-

a

x

-（a+1）lnx+a+1，
∴g′（x）=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-1)(x-a)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1，或x=a．…（8分）
i）當a≥1時，由0＜x≤1知，g′（x）≥0，∴g（x）在（0，1]上遞增．
∴g（x）_max=g（1）=2．
于是a≥1符合條件． …（10分）
ii）當0＜a＜1時，
∵當0＜x＜a時，g′（x）＞0；a＜x＜1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，a）上遞增，g（x）在（a，1）上遞減．
∴g（x）_max=g（a）＞g（1）=2，與題意矛盾．
∴0＜a＜1不符合題意．
綜上知，實數a的取值范圍為[1，+∞）．…（12分）

點評：本題考查導數的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確求導，合理分類是關鍵．