Question

如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設M在線段AB上，且滿足AM=3MB，線段CE上是否存在一點N，使得MN∥平面DAE？若存在，求出CN的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE；
（2）解：存在CN=CE，使得MN∥平面DAE．
在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，
∵AM=3MB，∴CN=CE
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE
同理可證，GN∥平面ADE，
∵MG∩GN=G，∴平面MGN∥平面ADE
又∵MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∵EB=BC=2，∴CE=2
∴CN=
分析：（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE證明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根據線面垂直的判定定理證出AE⊥平面BCE，即證出AE⊥BE；
（2）根據條件分別在△ABE中過M點作MG∥AE和△BEC中過G點作GN∥BC，根據線面平行的判定證出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定證出平面MGN∥平面ADE，則得到N點在線段CE上的位置．
點評：本題是關于線線、線面和面面垂直與平行的綜合題，利用垂直與平行的判定（性質）定理，實現線線、線面和面面的相互轉化，屬于中檔題．