Question

如圖，已知直線與拋物線相切于點P(2, 1)，且與軸交于點A，定點B的坐標為(2, 0) .

（I）若動點M滿足，求點M的軌跡C；

（II）若過點B的直線（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求OBE與OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

解：（I）由得，  ∴.

∴ 直線的斜率為，

故的方程為，   ∴點A的坐標為（1，0）.

設 ，則（1，0），，，

由得，

整理，得. 

∴動點的軌跡C為以原點為中心，焦點在軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓.

(II)如圖，由題意知的斜率存在且不為零，

設方程為  ①，

將①代入，整理，得

，由得

設、，

則  ②

令， 則，

由此可得  ，，且.

由②知  ，

.

∴ , 即

∵  ，∴ ，

解得 

又∵，  ∴，

∴OBE與OBF面積之比的取值范圍是（， 1）