Question

（2013•蘭州一模）已知點P為y軸上的動點，點M為x軸上的動點，點F（1，0）為定點，且滿足

PN

+

1

2

NM

=0，

PM

•

PF

=0．
（Ⅰ）求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點A，B，試判斷在x軸上是否存在點C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出N點的坐標，由已知條件

PN

+

1

2

NM

=0可知P為MN的中點，由題意設出P和M的坐標，求出

PM

和

PF

的坐標，代入

PM

•

PF

=0可求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系寫出A，B兩點的縱坐標的和與積，假設存在點C（m，0）滿足條件，則

CA

=(x1-m，y1)，

CB

=(x2-m，y2)，由
|CA|²+|CB|²=|AB|²成立得到

CA

•

CB

=0，代入坐標后得到關于m的一元二次方程，分析知方程有解，從而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設N（x，y），則由

PN

+

1

2

NM

=

0

，得P為MN的中點．
∴P(0，

y

2

)，M(-x，0)．
∴

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)．
∴

PM

•

PF

=-x+

y2

4

，即y²=4x．
∴動點N的軌跡E的方程y²=4x．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x得y2-

4

k

y-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y1y2=-4．
假設存在點C（m，0）滿足條件，則

CA

=(x1-m，y1)，

CB

=(x2-m，y2)，
∴

CA

•

CB

=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=(

y1y2

4

)2-m(

y12+y22

4

)+m2-4
=-

m

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3
=m2-(

4

k2

+2)m-3．
∵△=(

4

k2

+2)2+12＞0，
∴關于m的方程m2-(

4

k2

+2)m-3=0有解．
∴假設成立，即在x軸上存在點C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線的關系問題是考查的中點，常和弦長問題、存在性問題結合考查，解答時往往采用“設而不求”的解題方法，借助于一元二次方程的根與系數關系解題，該種類型的問題計算量較大，要求學生有較強的運算能力，是難題．