Question

（2012•四川）記[x]為不超過實數x的最大整數，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設a為正整數，數列{x_n}滿足x₁=a，xn+1=[

xn+[ a xn ]

2

](n∈N*)，現有下列命題：
①當a=5時，數列{x_n}的前3項依次為5，3，2；
②對數列{x_n}都存在正整數k，當n≥k時總有x_n=x_k；
③當n≥1時，xn＞

a

-1；
④對某個正整數k，若x_k+1≥x_k，則xk=[

a

]．
其中的真命題有

①③④

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：按照給出的定義對四個命題結合數列的知識逐一進行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數學歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤

解答：解：①當a=5時，x₁=5，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

5+[ 5 5 ]

2

] =3，
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

3+[ 5 3 ]

2

] =2，
∴①正確．
②當a=8時，x₁=8，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

8+[ 8 8 ]

2

] =4
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

4+[ 8 4 ]

2

] =3
x4=[

x3+[ a x3 ]

2

] = [

3+[ 8 3 ]

2

] =2
x5=[

x4+[ a x4 ]

2

] = [

2+[ 8 2 ]

2

] =3
∴此數列從第三項開始為3，2，3，2，3，2…為擺動數列，故②錯誤；
③當n=1時，x₁=a，∵a-（

a

-1）=(

a

-

1

2

) 2+

3

4

＞0，∴x₁=a＞

a

-1成立，
假設n=k時，xk＞

a

-1，
則n=k+1時，xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]，
∵

xk+[ a xk ]

2

≥

xk+ a xk

2

≥

a

，
∴xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]＞

a

-1
∴對任意正整數n，當n≥1時，xn＞

a

-1；③正確；
④xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]≥x_k，
由數列①②規律可知xk=[

a

]一定成立
故正確答案為①③④

點評：本題主要考查了數列遞推公式的應用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數學歸納法的應用，難度較大，需有較強的推理和思維能力