Question

（2013•楚雄州模擬）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，則該雙曲線離心率等于（　　）

• A．

  3 5

  5

• B．

  6

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：先將圓的方程化為標準方程，再根據雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切
，利用圓心到直線的距離等于半徑，可建立幾何量之間的關系，從而可求雙曲線離心率．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

b

a

x，即bx±ay=0
圓C：x²+y²-6x+5=0化為標準方程（x-3）²+y²=4
∴C（3，0），半徑為2
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切
∴

|3b|

b2+a2

=2
∴9b²=4b²+4a²
∴5b²=4a²
∵b²=c²-a²
∴5（c²-a²）=4a²
∴9a²=5c²
∴e=

c

a

=

3 5

5

∴雙曲線離心率等于

3 5

5

故選A．

點評：本題以雙曲線方程與圓的方程為載體，考查直線與圓相切，考查雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是利用直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑．