Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0的解集為

[-1，0）∪（0，1]

．

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x），化簡(jiǎn)不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0得

2f(x)

x

≤0．再分x＞0和x＜0時(shí)兩種情況加以討論，利用函數(shù)的單調(diào)性和f（1）=0，分別解關(guān)于x的不等式得到x的取值范圍．最后綜合可得原不等式的解集．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x）（x∈R），
∴f（x）-f（-x）=f（x）+f（x）=2f（x），
因此，不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0等價(jià)于

2f(x)

x

≤0，
化簡(jiǎn)得

f(x)≥0 x＜0

或

f(x)≤0 x＞0

，
①當(dāng)x＞0時(shí)，由于在（0，+∞）上f（x）為增函數(shù)且f（1）=0，
∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；
②當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
不等式f（x）≥0化成-f（x）≤0，即f（-x）≤0=f（1），
解之得-x≤1，即-1≤x＜0．
綜上所述，原不等式的解集為[-1，0）∪（0，1]．
故答案為：[-1，0）∪（0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，求解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用、不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．