Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想數列{S_n}的通項公式，并給出嚴格的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）驗證當n=1時，x²-a₁x-a₁=0有一根為a₁根據根的定義，可求得a₁，同理，當n=2時，也可求得a₂；
（2）用數學歸納法證明數列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，已知結論成立，第二步，先假設n=k時結論成立，利用此假設結合題設條件證明當n=k+1時，結論也成立即可．
解答：解：（1）當n=1時，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=．
當n=2時，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-，
于是（a₂-）²-a₂（a₂-）-a₂=0，
解得a₂=．
（2）由題設（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=，S₂=a₁+a₂=+=．
由①可得S₃=．由此猜想S_n=，n=1，2，3，．
下面用數學歸納法證明這個結論．
（i）n=1時已知結論成立．
（ii）假設n=k時結論成立，即S_k=，當n=k+1時，由①得S_k+1=，即S_k+1=，故n=k+1時結論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=對所有正整數n都成立．
點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立