Question

如右圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
①DA₁與BC₁平行；
②DD₁與BC₁垂直；
③DA₁與BB₁異面；
④A₁B₁與BC₁垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是（　�。�

A．③④

B．②③④

C．①②④

D．①④

Answer 1

分析：根據空間直線的位置關系，結合異面直線的判定方法，可得①不正確且③是真命題；根據異面直線所成角的定義與求法，結合正方體的性質得到DD₁與BC₁所成角是45°，故②不正確；根據正方體的性質和線面垂直的性質，可得④是真命題．由此即可得到本題的答案．

解答：解：對于①，因為A₁B₁∥CD，所以四邊形A₁B₁CD是平行四邊形
∴B₁C∥DA₁，可得B₁C與BC₁所成的角就等于DA₁與BC₁所成的角
∵正方形BB₁C₁C中，B₁C與BC₁相交且垂直
∴DA₁與BC₁是互相垂直的異面直線，故①不正確；
對于②，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥BB₁，
而正方形BB₁C₁C中，∠B₁BC₁=45°
∴DD₁與BC₁所成角是45°，并不垂直，故②不正確；
對于③，由于正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C
可得DA₁與BB₁分別在兩個平行平面中，它們不可能相交
又∵B₁C∥DA₁且B₁C與BB₁相交
∴DA₁與BB₁不平行，必定是異面直線，故③正確；
對于④，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B₁⊥平面BB₁C₁C
結合直線BC₁?平面BB₁C₁C，可得A₁B₁⊥BC₁，可得④正確
由此可得正確命題的序號為③④
故選：A

點評：本題給出正方體模型，叫我們判定關于異面直線所成角和空間直線位置關系的幾個命題的真假．著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．