Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）求證：平面BMD⊥平面PAC；
（III）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析：（I）欲證PC∥平面MBD，根據線面平行的判定定理可知只需在平面QBD內找一直線與之平行，設AC∩BD=O，連OM，易證OM∥PC；
（II）欲證平面MBD⊥平面PAC，根據線面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面PAC，而易證BD⊥AC與PA⊥BD．

解答：解：（Ⅰ）設AC與BD的交點為O，連接OM．
因為ABCD是菱形，則O為AC中點．
又M為PA的中點，所以OM∥PC
因為OM在平面BDM內，所以PC∥平面BDM．
（Ⅱ）因為ABCD是菱形，則BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，則PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
∴平面BMD⊥平面PAC．
（III）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S_△ABD=

1

2

×2

3

×

2

2

=

6

2

．
∵PA⊥平面ABCD，∴MA為三棱錐M-ABD的高，MA=

2

2

，
∴三棱錐M-ABD的體積V=

1

3

×

6

2

×

2

2

=

3

6

．

點評：本題考查了線面平行的證明，考查了面面垂直的證明，求三棱錐的體積，考查了空間想象能力與推理論證能力．