Question

（13分）已知拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（I）當(dāng)k=1時(shí)，求線段AB的長；

（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時(shí)，求線段AB中點(diǎn)C的軌跡方程；

（III）設(shè)是該拋物線的準(zhǔn)線．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，上是否存在點(diǎn)D，使得？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如不存在，說明理由． 

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)點(diǎn)、分別為、，由題意得

，

∴，      　　　　　　　　　　　 　　　　　　１分

∴，．　　　　　　　　　　　　　　 　 2分

∴，

．            　　　　　　　　　　　　 　　３分

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，．

∴    　　　　　　　　　　　　　　 4分

．    　　　　　　　　　　　６分

（Ⅱ）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)變化時(shí)，

， 　　　　　　　　　　　　　             7分

消去，得．

即點(diǎn)的軌跡方程為．　　　　　　　　　　　　　　　９分

（Ⅲ）拋物線的準(zhǔn)線的方程為．　　　　　　　　 10分

假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使，則

，．　　　　　　　　　12分

令，

得　　　①

將，，，代入①式，整理得，即，

∴．

∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在上存在點(diǎn)，使得．          13分

【解析】略