Question

計算：（1）；
（2）
（3）1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹

Answer 1

【答案】分析：利用ω³=³=1，ω+=-1，ω=1，ω²=，²=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω²=0，1++²=0
這些性質中（ω=-+i）；（1±i）²=±2i，，解答（1）（2）．利用i的冪的周期性解答（3）．
解答：解：（1）原式=+（2-i）-
=i+2-i-（-i）
=2+i
（2）原式=
=
=
（3）解法1：原式=（1+2i-3-4i）+（5+6i-7-8i）++（997+998i-999-1000i）
=250（-2-2i）=-500-500i
=-1000=-1000
解法2：設S=1+2i+3i²++1000i⁹⁹⁹，
則iS=i+2i²+3i³++999i⁹⁹⁹+1000i¹⁰⁰⁰，
∴（1-i）S=1+i+i²++i⁹⁹⁹-1000i¹⁰⁰⁰
=-1000=-1000
∴S==-500-500i．
點評：（1）計算時要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性．
（2）重視利用ω³=³=1，ω+=-1，ω=1，ω²=，²=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω²=0，1++²=0
這些性質（ω=-+i）；要記住常用的數據：（1±i）²=±2i，，．
（3）充分利用i的冪的周期性進行組合，注意利用等比數列求和的方法．