Question

已知在平面直角坐標系xOy內，點P（x，y）在曲線C：

x=1+cosθ y=sinθ

(θ為參數，θ∈R）上運動．以Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先將原極坐標方程ρcos(θ+

π

4

)=0利用三角函數的和角公式后再化成直角坐標方程，再利用消去參數θ得到曲線C的直角坐標方程．
（2）欲求△ABM面積的最大值，由于AB一定，故只要求AB邊上的高最大即可，根據平面幾何的特征，當點M在過圓心且垂直于AB的直線上時，距離AB最遠，據此求面積的最大值即可．

解答：解：（1）消去參數θ，得曲線C的標準方程：（x-1）²+y²=1．
由ρcos(θ+

π

4

)=0得：ρcosθ-ρsinθ=0，
即直線l的直角坐標方程為：x-y=0．
（2）圓心（1，0）到直線l的距離為d=

1

1+1

=

2

2

，
則圓上的點M到直線的最大距離
為d+r=

2

2

+1（其中r為曲線C的半徑），|AB|=2

12-( 2 2 )2

=

2

．設M點的坐標為（x，y），
則過M且與直線l垂直的直線l'方程為：x+y-1=0，
則聯立方程

(x-1)2+y2=1 x+y-1=0

，
解得

x= 2 2 +1 y=- 2 2

，或

x=- 2 2 +1 y= 2 2

，
經檢驗

x=- 2 2 +1 y= 2 2

舍去．
故當點M為(

2

2

+1，-

2

2

)時，△ABM面積的最大值為（S_△ABM）_max=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．