Question

（本小題滿分14分）設函數（），．

(Ⅰ)令，討論的單調性；

（Ⅱ）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數在上是單調遞減；在上是單調遞增.

（2）（3）．

【解析】

試題分析：(I)直接求導，利用得到F(x)的單調增（減）區間；

（II）不等式的解集中的整數恰有3個，等價于恰有三個整數解，故，令,因為h(x)的一個零點區間為(0,1),

所以得到另一個零點一定在區間,故,問題到此得解.

(III)由（I）知可知F(x)的最小值為0,則f(x)與g(x)的圖像在處有公共點.

如果f(x)與g(x)存在分界線，因為方程即，所以由題意可轉化為在恒成立問題解決.

（Ⅰ）由得：

················· 1分

①當時，，則函數在上是單調遞增；····· 3分

②當時，則當時，， 當時，

故函數在上是單調遞減；在上是單調遞增. ···· 5分

（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整數恰有3個，

等價于恰有三個整數解，故，

令，由且，

所以函數的一個零點在區間，

則另一個零點一定在區間，故   解之得．··· 9分

下面證明恒成立．

設，則．

所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．　　　　　　…………14分

考點： 利用導數研究函數的單調性，函數的最值，函數的零點，不等式恒成立問題，分析問題解決問題的能力，推理與論證能力.

點評：本題綜合性難度大，第（II）問的關鍵是構造之后，判定一個零點在區間(0,1),另一個零點,從而問題得解.

第（III）問關鍵是理解f(x)與g(x)存在分界線，因為方程即，題目可轉化為在恒成立問題解決.