Question

已知函數（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定義域；（2）求它的單調區間；（3）判斷它的周期性，如果是周期函數，求它的最小正周期．

Answer 1

解：（1）要使f（x）有意義，需滿足cos（2x-）＞0，…（2分）
∴2kπ-＜2x-＜2kπ+，∴kπ-＜x＜kπ+．k∈z …（5分）
∴f（x）的定義域為{x|kπ-＜x＜kπ+，k∈Z}．…（6分）
（2）當a＞1時，f（x）的單調增區間就是cos（2x-）＞0時的增區間．
由 2kπ-＜2x-＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-＜x＜kπ+，k∈z，
故單調增區間是 （kπ-，kπ+ ），k∈z．
由 2kπ＜2x-＜2kπ+，k∈z，可得 kπ+＜x＜kπ+，k∈z，
故單調減區間是（kπ+，kπ+） （k∈Z）． …（9分）
當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間就是cos（2x-）＞0時的減區間，
f（x）的單調減區間就是cos（2x-）＞0時的增區間．
故f（x）的單調增區間是 （kπ+，kπ+） （k∈Z）．
故f（x）單調減區間是 （kπ-，kπ+ ），k∈z．…（12分）
（3）f（x）是周期函數，最小正周期是 =π．…（14分）
分析：（1）由對數函數的定義域可得cos（2x-）＞0，根據2kπ-＜2x-＜2kπ+ k∈Z，求出x的范圍，即可得到所求．
（2）當a＞1時，f（x）的單調增區間就是cos（2x-）＞0時的增區間，由2kπ-＜2x-＜2kπ+0，k∈z 求出函數
的增區間．由2kπ＜2x-＜2kπ+，k∈z，求出函數減區間．當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間就是a＞1時的減區間，
f（x）的單調減區間就是a＞1時的增區間．
（3）f（x）是周期函數，由周期計算公式求得結果．
點評：本題主要考查余弦函數的定義域，對數函數的定義域，三角函數的周期性及其求法，注意復合函數的單調性規律：
同增異減，屬于中檔題．