Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設點P是橢圓C的左準線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M,N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意，設橢圓C的方程為焦距為，由題設條件知， 所以故橢圓C的方程為 

（Ⅱ）橢圓C的左準線方程為所以點P的坐標，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。如圖，設點M，N的坐標分別為線段MN的中點為G，

 由得.           ……①

由解得.    ……②

因為是方程①的兩根，所以，于是

=，     .

因為，所以點G不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點在正方形內（包括邊界）的充要條件為 

即  亦即

解得，此時②也成立.    

故直線斜率的取值范圍是

【解析】略