Question

給出下列三個命題：①函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=0對稱；②函數f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為w=1．；③若數列{a_n}是遞增數列且a_n=n²+kn+2（n∈N^*），則k∈（-3，+∞）．其中真命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：逐個加以判斷：①考查函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象的對稱性，可以設F（x）=f（1+x），則函數y=f（1-x）=F（-x），根據F（x）與F（-x）圖象關于y軸對稱，得出①是真命題；
②根據三角函數周期性的法則，周期應該是兩個函數周期的最小公倍數2π，得出②不正確；③由a_n=n²+kn+2（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0對一切正整數都成立，由此解出k的取值范圍，可知③也是正確的．因此不難給出正確答案．

解答：解：①考察函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象的對稱性，可以設F（x）=f（1+x），則函數y=f（1-x）=F（-x）
∵F（x）與F（-x）圖象關于y軸對稱，y軸即直線x=0
∴函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=0對稱；故①是真命題；
②函數y=sinx的最小值周期是2π，y=cos|x|的最小值周期是π，
根據三角函數周期性的法則，f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期應該是兩個函數周期的最小公倍數2π，得出②不正確；
③由a_n=（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0對一切正整數都成立，
即：不等式（n+1）2+k（n+1）2-（n²+kn+2）≥0，對任意的正整數n恒成立
解之得k＞-2n-1，而-2n-1的最大值為-3
因此k的取值范圍為k∈（-3，+∞），可知③也是正確的．
故選C

點評：本題綜合了數列的單調性、函數的周期與函數的圖象等問題，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．熟練掌握函數與數列的相關知識，是解決好本題的關鍵．