Question

（滿分16分）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）證明：是上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

試題分析：
試題解析：（1）證明：函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053924863303.png" style="vertical-align:middle;" />，∵，∴是偶函數(shù)．
（2）由得，由于當(dāng)時(shí)，，因此，即，所以，令，設(shè)，則，，∵，∴（時(shí)等號(hào)成立），即，，所以．
（3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053925815398.png" style="vertical-align:middle;" />），故函數(shù)在上增函數(shù)，，于是在上有解，等價(jià)于，即．考察函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，，所以當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，，即，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
【考點(diǎn)】（1）偶函數(shù)的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數(shù)的交匯；（3）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，比較大小．