Question

已知函數(shù)．
（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）求得函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，即可求a的值；
（II）由于，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，．
又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，所以f′（1）=a+1=2．解得a=1．
（II）由于．
當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)于x∈（0，+∞），有f′（x）＞0在定義域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-∈（0，+∞）；
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．